Question

在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体内一动点（包括表面），若

AP

=x

AB

+y

AD

+z

AA1

，且0≤x≤y≤z≤1．则P点所有可能的位置所构成的几何体的体积是

1

6

．

Answer 1

分析：利用平面线性规划的方法，我们类比推理，可得若0≤x≤y，则P点只能再现在三棱柱ACD-A₁C₁D₁中，若y≤z≤1，则P点只能再现在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁中，进而确定出满足条件的P点只能再现在三棱锥A-A₁C₁D₁中，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：若0≤x≤y，则P点只能再现在三棱柱ACD-A₁C₁D₁中，
若y≤z≤1，则P点只能再现在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁中，

若要同时满足0≤x≤y≤z≤1，则P点只能再现在三棱锥A-A₁C₁D₁中，
∵三棱棱锥A-A₁C₁D₁的体积V=

1

3

×（

1

2

×1×1）=

1

6

故答案为：

1

6

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据线性规划和类比推理，判断出满足条件的P点只能再现在三棱锥A-A₁C₁D₁中，是解答本题的关键．