Question

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₂|=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=，故椭圆的半焦距c=，从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为=1．（6分）
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．若直线l斜率不存在，显然不合题意．
从而可设过点（-2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称，所以，解得k=，
所以直线l的方程为，即8x-9y+25=0．
经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意． （14分）
分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得a的值，在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=，可得椭圆的半焦距c=，从而可求椭圆C的方程为=1；
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），设过点（-2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，利用A，B关于点M对称，结合韦达定理，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程，联立方程是关键．