题目内容

已知函数g（x）= $数学公式$ sin（2x+ $数学公式$ ），f（x）=acos²（x+ $数学公式$ ）+b，且函数y=f（x）的图象是函数y=g（x）的图象按向量a=（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）平移得到的．
（1）求实数a、b的值；
（2）设h（x）=g（x）- $数学公式$ f（x），求h（x）的最小值及相应的x的值．

解：（1）∵f（x）=acos²（x+ $\text{[math]}$ ）+b= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ +b，①
g（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象按向量a=（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）平移得到
f（x）= $\text{[math]}$ sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，②
比较①②可得：a=1，b=0；
（2）∵h（x）=g（x）- $\text{[math]}$ f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ．
当2x+ $\text{[math]}$ =2kπ- $\text{[math]}$ ，即x=kπ- $\text{[math]}$ （k∈Z）时，h（x）有最小值，h（x）_min=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将f（x）=acos²（x+ $\text{[math]}$ ）+b化为：f（x）= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ +b，函数y=g（x）的图象按向量a=（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）平移得到f（x）= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，从而可求得实数a、b的值；
（2）可求得h（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ．当2x+ $\text{[math]}$ =2kπ- $\text{[math]}$ ，h（x）有最小值．
点评：本题考查三角函数的化简与求值，着重考查降幂公式，辅助角公式及正像函数的性质的综合应用，属于难题．