Question

给出以下三个命题：
（A）已知P（m，4）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是左、右两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为

3

2

，则此椭圆的离心率e=

4

5

；
（B）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一动点M，引圆O：x²+y²=b²的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若∠BMA=

π

2

，则椭圆的离心率e的取值范围为[

3

2

，1)；
（C）已知F₁（-2，0）、F₂（2，0），P是直线x=-1上一动点，则以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的离心率e的取值范围是[2，+∞）．
其中真命题的代号是

 

（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析：（A）根据△PF₁F₂的内切圆的半径为

3

2

，利用内心的定义可得

PF2

F2M

=

PF1

F1M

=

PI

IM

（I为内心），利用椭圆的定义和离心率的计算公式，即可求得结果；
（B）由∠BMA=

π

2

得OM=

2

b，根据OM≤a，即可求得离心率的范围，从而判定命题的真假；
（C）P是直线x=-1上一动点，可得P在x轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，即a最小，从而双曲线的离心率最大，可以得到结果．

解答：解：（1）设M是∠F₁PF₂的角平分线与x轴的交点，则：

PF2

F2M

=

PF1

F1M

=

PI

IM

（I为内心），

IM

PM

=

3 2

4

=

3

8

，∴

PI

IM

=

5

3

∵

PF2+PF1

F2M+F1M

=

PI

IM

=

2a

2c

∴e=

6

10

=

3

5

（2）由∠BMA=

π

2

得OM=

2

b，
∵OM≤a
∴a≥

2

b，∴a²≥2（a²-c²），
∴e∈[

2

2

，1)
（3）P在x轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，
∴c-a≥1，∴2-a≥1，
∴a≤1e=

c

a

≥

a+1

a

=1+

1

a

又a≤1，∴e≥2

点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可，属中档题．