Question

9．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（1）求证：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求四棱锥A-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁，CB₁，取CC₁中点O，连接OA，OB₁，利用正三角形的性质可得：CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，可得CC₁⊥平面OAB₁，即可证明．
（II）利用勾股定理的逆定理可得：OA⊥OB₁．利用线面垂直的判定定理可得：OA⊥平面BB₁C₁C．再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC₁，CB₁，
则△ACC₁和△B₁CC₁皆为正三角形．
取CC₁中点O，连接OA，OB₁，则
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
又AO∩B₁O=O，
∴CC₁⊥平面OAB₁，
∴CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=$\sqrt{3}$，又AB₁=$\sqrt{6}$，
∴$O{A}^{2}+{B}_{1}{O}^{2}=A{{B}_{1}}^{2}$，
∴OA⊥OB₁．
又OA⊥CC₁，OB₁∩CC₁=O，
∴OA⊥平面BB₁C₁C．
S_□BB1C1C=BC×BB₁ sin60°=2$\sqrt{3}$，
故V_A-BB1C1C=$\frac{1}{3}$S_□BB1C1C×OA=2．

点评 本题考查了菱形的性质、正三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．