题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1， $数学公式$ ）处的切线斜率为-4，求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．

解：求导函数，f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，- $\text{[math]}$ ）处的切线斜率为-4，
∴f′（1）=-4
∴1+2a-b=-4①
∵f（1）=- $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ +a-b=- $\text{[math]}$ ②
由①②解得a=-1，b=3，…（6分）
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）=（x-3）（x+1）…（5分）
∴f′（x）=（x-3）（x+1）=0，解得x=-1或3．

x	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+6）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴f（x）_极大=f（-1）= $\text{[math]}$ ，f（x）_极小=f（3）=-9．…（10分）
又f（-3）=-9-9+9=-9，f（6）=72-36-18=18．
∴f（x）在区间[-3，6]上的最小值为f（-3）=f（3）=-9、最大值为f（6）=18．…（12分）
分析：求导函数，利用y=f（x）图象上的点（1，- $\text{[math]}$ ）处的切线斜率为-4，确定函数的解析式，进而确定函数的单调性与极值，计算端点的函数值，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值、最值，正确求出函数的解析式，确定函数的单调性是关键．