Question

【题目】已知函数 .
（1） 时，证明： ；
（2）当 时，直线 和曲线 切于点 ，求实数 的值；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）证明：记 ，
∵ ，
令 得 ，
当 ， ， 递减；当 ， ， 递增，
∴ ，
，
得
（2）解：切点为 ， ，则
，∴ ，
∵ ，∴ 由(1)得 .
所以 .
（3）解：由题意可得 恒成立，
所以 ，
下求 的最小值，
，
由(1) 知 且 .
所以 ， 递减，
∵ ，∴ .
所以
【解析】（1）通过定义新函数将不等式转化为函数的最值问题；（2）由题意可知点A既在直线上也在曲线上，从而可以用m表示n与k，从而将问题转化为解方程，而所列方程无一般解法，恰好利用（1）的结果即可解方程，进而求得k的值；（3）求不等式中字母的取值范围可以转化为求函数G（x）的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．