Question

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分，类似于加权平均数的算法，让每一段的中值乘以这一段对应的频率，得到平均数，利用样本的平均数来估计总体的平均数．
（II）根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，根据符合二项分布写出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法来解．

解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
∴估计这次考试的平均分是72分．
（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C₆²=15，
有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C₄²=6，
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=

6

15

=

2

5

.
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，
∴P(ξ=k)=

C

k 3

(

2

5

)k(

3

5

)3-k，k=0，1，2，3
∴变量ξ的分布列为：

∴Eξ=np=3×

2

5

=

6

5

（或Eξ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

54

125

=

6

5

）

点评：本题考查读频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，是一个综合题．