Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=$\sqrt{2}$，PC=2则四棱锥P-ABCD的体积最大值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．在Rt△BPC中，可得$PG=\frac{BP•PC}{BC}$．设AB=x，则OG=x，可得PO=$\sqrt{P{G}^{2}-{OG}^{2}}$，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PO•{S}_{ABCD}$，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
在△BPC中，∵∠BPC=90°，PB=$\sqrt{2}$，PC=2，∴BC=$\sqrt{B{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴$PG=\frac{BP•PC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设AB=x，则OG=x，
PO=$\sqrt{P{G}^{2}-{OG}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PO•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}×$$\sqrt{6}$x，
∴V²=$\frac{2}{3}（\frac{4}{3}-{x}^{2}）{x}^{2}$$≤\frac{2}{3}（\frac{\frac{4}{3}-{x}^{2}+{x}^{2}}{2}）^{2}$=$（\frac{2}{3}）^{3}$，当且仅当$x=\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号．
∴V_P-ABCD≤$\frac{{2\sqrt{6}}}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．