Question

解下列关于x的不等式：
（1）4^x-2^x+1-3＞0；
（2）

2+m

x+1

＜m，（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）原不等式分解因式可得（2^x+1）•（2^x-3）＞0，可得2^x＞3，解此指数不等式求得x的范围，即为所求．
（2）原不等式等价转化为

mx-2

x+1

＞0，即（x+1）•（mx-2）＞0，分m=0、m＞0、-2＜m＜0、m=-2、m＜-2五种情况分别求得x的范围，即可求得所求不等式的解集．

解答：解：（1）原不等式分解因式可得（2^x+1）•（2^x-3）＞0，即2^x＞3，
∴x＞log₂3，故不等式的解集为 {x|x＞log₂3 }．
（2）原不等式移项，通分等价转化为

mx-2

x+1

＞0，即（x+1）•（mx-2）＞0．
当m=0时，原不等式即为-2（x+1）＞0，可得x+1＜0，即x＜-1．
当m＞0时，原不等式即为(x+1)•(x-

2

m

)＞0，
∵

2

m

＞-1，∴原不等式的解为x＜-1，或x＞

2

m

．
当-2＜m＜0时，∵

2

m

＜-1，∴原不等式的解为

2

m

＜x＜-1．
当m=-2时，原不等式为（x+1）²＜0，∴原不等式无解．
当m＜-2时，∵

2

m

＞-1，∴原不等式的解为-1＜x＜

2

m

．
综上可得，当m=0时，原不等式的解集为{x|x＜-1}； 当m＞0时，原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞

2

m

}；当-2＜m＜0时，原不等式的解集为 {x|

2

m

＜x＜-1 }；当m=-2时，原不等式的解集为∅； 当m＜-2时，原不等式的解为{x|-1＜x＜

2

m

}．

点评：本题主要考查指数不等式、一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．