Question

P为椭圆C：上一点，A、B为圆O：x²+y²=b²上的两个不同的点，直线AB分别交x轴，y轴于M、N两点且，，O为坐标原点．
（1）若椭圆的准线为，并且，求椭圆C的方程．
（2）椭圆C上是否存在满足的点P？若存在，求出存在时a，b满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据条件求出PA与PB，进而得到AB的方程，求出M、N两点的坐标，代入，可以得到关于a，b的等式；再结合椭圆的准线为，即可求出a，b的值，进而求出椭圆C的方程．
（2）先假设存在P（x，y）满足要求，得到OBPA为正方形，即，转化为关于点P（x，y）的等式；再结合P（x，y）在椭圆上，即可求出点P（x，y）的坐标所满足的等式，再通过讨论即可得到结论．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
易求得PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
则x₁x+y₁y=b²，x₂x+y₂y=b²
于是AB：xx+yy=b²（xy≠0），
可求得

再由条件，以及a²-b²=c²易得a=5，b=4，
于是所求椭圆为，
（2）设存在P（x，y）满足要求，则当且仅当OBPA为正方形．
，即x²+y²=2b²…（1），
又因为：
解（1）（2）得，
所以   （ⅰ）当时，存在P（x，y）满足要求；
（ⅱ）当时，不存在P（x，y）满足要求．
点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题．圆与圆锥曲线同属于几何内容，都可以用解析法研究（都是二次曲线）．所以要特别关注圆与圆锥曲线在一些题目中的交汇、综合．