Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，函数y=f^-1（x）是函数y=f（x）的反函数．
（1）若函数y=f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）=（

1

3

）^x，的反函数，写出函数y=f^-1（mx²+mx+1）的表达式，然后利用它的定义域为R，mx²+mx+1＞0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的表达式，根据x∈[-1，1]，求出（

1

3

）^x的范围，根据对称轴是否在（

1

3

）^x的范围内求函数g（a）的最小值．

解答：解：（1）∵f^-1（x）
=log

1

3

x（x＞0），
∴f^-1（mx²+mx+1）
=log

1

3

（mx²+mx+1），由题知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴①当m=0时，1＞0满足题意；
②当m≠0时，
应有

m＞0 △=m2-4m＜

0
?0＜m＜4，
∴实数m的取值范围为
0≤m＜4．
（2）∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]，
y=[f（x）]²-2af（x）+3=[（

1

3

）^x]²-2a（

1

3

）^x+3
=[（

1

3

）^x-a]²+3-a²，
当a＜

1

3

时，
y_min=g（a）=

28

9

-

2a

3

；
当

1

3

≤a≤3时，
y_min=g（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=g（a）=12-6A、
∴g（a）=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

点评：本题考查反函数，函数的最值及其几何意义，考查转化思想，恒成立问题，计算能力，以及分析问题解决问题的能力，是中档题．