题目内容

若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足
1
n
[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f
（
x1+x2+…+xn
n
），则称f（x）为D上的凸函数．已知函数y=sinx在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是
 
．
分析：已知f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：
sinA+sinB+sinC
3
≤sin
A+B+C
3
，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin
π
3
利用特殊三角函数值求得问题答案．
解答：解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴
f(A)+f(B)+f(C)
3
≤f（
A+B+C
3
）=f（
π
3
），
即sinA+sinB+sinC≤3sin
π
3
=
3
3
2
，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为
3
3
2
．
故答案为：
3
3
2
点评：本题主要考查三角函数的最值问题．考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

（本小题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)请研究函数的单调性；

(Ⅱ)若函数有两个零点，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.若函

 

数的最小值为，试判断函数是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

 
已知函数，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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