题目内容

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x= $数学公式$ ，则f（x）=0在区间[0，2011]内根的个数为

A.
2012
B.
2011
C.
1007
D.
1006

B
分析：由条件推出f（1-x）=f（1+x），进而推出f（x）为偶函数，且f（x）是周期等于2的周期函数，根据f（ $\text{[math]}$ ）=0求出f（ $\text{[math]}$ ）=0，从而得到函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f（x）=0在区间[0，2011]内根的个数．
解答：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数．
由于f（ $\text{[math]}$ ）=0，∴f（- $\text{[math]}$ ）=0，∴f（ $\text{[math]}$ ）=f（2- $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
f（x）=0在区间[0，2011]内根的个数为2011，
故选B．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．

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5	2

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