Question

若log_a6•log₆7•log₇8=-3，设函数f（x）=-a^2x+4a^x+5
（1）求a的值；
（2）当x≥-2时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈R时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用对数的换底公式即可求出；
（2）通过换元利用二次函数的单调性即可解决；
（3）利用指数函数及复合函数的单调性及换元法即可求出．
解答：解：（1）∵log_a6•log₆7•log₇8=-3，∴，∴．，∴lga=-lg2，∴；
（2）∵，可设，又x≥-2，∴0＜=4．
从而函数f（x）=-a^2x+4a^x+5可化为f（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，t∈（0，4]．
可知f（t）在（0，2]上单调递增，∴5＜f（t）≤9；
在[2，4]上单调递减，∴5≤f（t）≤9；
∴f（t）的值域为[5，9]．
即函数f（x）的值域为[5，9]．
（3）当x∈（-∞，-1]时，t=单调递减且值域为[2，+∞），
而函数f（t）=-（t-2）²+9在t∈[2，+∞）上单调递减，
故函数f（x）在x∈（-∞，-1]上单调递增，
因此函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]．
点评：熟练掌握对数函数的运算性质和利用换元法解决二次函数的单调性是解题的关键．