Question

若函数f（x）在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是（ ）
A．函数上的1级类增函数
B．函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
C．若函数上的级类增函数，则实数a的最小值为2
D．若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：在A中，f（x+1）-f（x）==≥0在（1，+∞）上不成立；在B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立；在C中，函数f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，故+≥sinx，所以实数a的最小值不为2；在D中，由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．
解答：解：∵f（x）=，
∴f（x+1）-f（x）=
=≥0在（1，+∞）上不成立，
故A不正确；
∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立，
故B不正确；
∵函数f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，
∴sin（x+）+a（x+）≥sinx+ax，
∴sinxcos+cosxsin+ax+a≥sinx+ax，
∴+≥sinx，
当x=时，≥，a≥，
∴实数a的最小值不为2，故C不正确；
∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，
t≥3-2x∈[1，+∞），
故D成立．
故选D．
点评：本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．