Question

对于函数f(x)=

x

1+|x|

，下列结论正确的是

①④

．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有两个不等的实数解；
③?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①直接验证即可，由此得到此函数是奇函数；
②可证明此函数在实数集R上具有单调性；
③经已知0是方程f（x）-kx=0的一个根；而当x＞0，k＞1时，方程

x

1+x

-kx=0无解，即函数g（x）无零点，同理x＜0时，亦无解，故③不正确；
④由②的单调性即可判断出．

解答：解：由函数f(x)=

x

1+|x|

，可得函数的定义域为实数集R．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0，故①正确；
②由①可知：此函数是实数集R上的奇函数，其图象关于原点对称．
下面证明当x≥0时，函数f（x）=

x

1+x

单调递增．
?0≤x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴当x≥0时，函数f（x）=

x

1+x

单调递增．
∵此函数是实数集R上的奇函数，∴此函数在区间（-∞，0）上也单调递增．
另外，当x→+∞时，f（x）→1；当x→-∞时，f（x）→-1．如图所示 可知②不正确；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函数g（x）的一个零点；
当x＞0时，若?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点，则方程

x

1+x

-kx=0必有解，
此方程化为kx=1-k，∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程无解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（-∞，0）上有零点，故③不正确；
④由②可知：函数f(x)=

x

1+|x|

，在实数集R上单调递增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故④正确．
综上可知：只有①④正确．
故答案为①④．

点评：由已知函数得出其奇偶性和单调性及画出图形是解题的关键．