Question

已知a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，且公比为q．

求证：(1)q³＋q²＋q＝1；(2)q＝．

Answer 1

答案：
解析：

思路与技巧：(1)根据所求式子中有q3，q2，q，所以很自然想到要用等比数列的定义把第二、三、四项都用第一项和公比来表示，接下来发现b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c相加是a＋b＋c，即可证得；(2)利用(1)的解法中相加的思想，产生出a，c来． 　　解答：(1)根据等比数列的定义，得 　　b＋c－a＝(a＋b＋c)q，c＋a－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3， 　　三式相加，得a＋b＋c＝(a＋b＋c)(q＋q2＋q3)， 　　∵a＋b＋c≠0，∴q3＋q2＋q＝1． 　　(2)由b＋c－a＝(a＋b＋c)q，c＋a－b＝(a＋b＋c)q2两式相加，得 　　2c＝(a＋b＋c)(q＋q2)① 　　由c＋a－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3两式相加，得 　　2a＝(a＋b＋c)(q2＋q3)　② 　　②÷①得q＝． 　　评析：本题除了根据等比数列的定义以外，认真观察题中条件与结论的关系，观察式子的特征是解决本题的必要素质，因此平时要有意识地培养自己．