Question

已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可求得≤≤2，而5×-3≤≤4×-1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．
解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴＞，
∵5c-3a≤4c-a，
∴≤2．
从而 ≤2×4-1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln，
从而≥，设函数f（x）=（x＞1），
∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）==e．
等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．
从而的取值范围是[e，7]双闭区间．
点评：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．