Question

已知点，点为直线上的一个动点.
（Ⅰ）求证：恒为锐角；
（Ⅱ）若四边形为菱形，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析;（Ⅱ）2.

试题分析：（Ⅰ）已知一个角的两边的向量,可以求出这个角的大小,由题,可以求出向量PA,PB,由向量内积公式可求得角的范围;（Ⅱ）菱形的对边平行且四边相等,向量相等,横纵坐标相等,由题,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q点坐标,即可求出向量的内积.
试题解析：（Ⅰ）∵点在直线上，
∴点,
∴，
∴ ,
∴,
若三点在一条直线上，则，
得到，方程无解，
∴,
∴恒为锐角.
（Ⅱ）∵四边形为菱形，
∴，即
化简得到，
∴，
∴ ,
设，∵，
∴，
∴,
∴.