题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
2
2
．
（它）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设m为椭圆C上一点，且满足
OG
+
OH
=t
Om
（O为坐标原点），当|
mG
-
mH
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围？
（3）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=3（a＞b＞r）的短轴长为2，离心率为
2
2
，
∴b=3，
c
a
=
2
2
，
∵a2=b2+c2，
∴a=
2
，b=3，
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=3…（3分）
（2）设G（x3，y3），H（x2，y2），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（3+2k2）x2-8kx+8k2-2=r
△=（-8k）2-q（3+2k2）（8k2-2）＞r，得k2＜
3
2
，…（5分）
条件|
PG
-
PH
|＜
2
5
3
转换一下就是|
GH
|＜
2
5
3
，
∵x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2

根据弦长公式，
3+k2
•
(
8k
3+2k2
)2-q•
8k2-2
3+2k2
＜
2
5
3
，得到k2＞
3
q
．…（3分）
设P（x，y），则
∵
OG
+
OH
=t
OP
，
∴（x3+x2，y3+y2）=t（x，y），
∴x=
3
t
（x3+x2），y=
3
t
（y3+y2）
根据x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2
，把x3，x2消成k，得P(
8k2
t(3+2k2)
，
-qk
t(3+2k2)
)（9分）
然后代入椭圆，得到关系式t2=
3qk2
3+2k2
，…（33分）
∴t2=
3q
3
k2
+2
，
∵
3
q
＜k2＜
3
2
，
∴实数t的取值范围为(-2，-
2
q
3
)∪(
2
q
3
，2)…（33分）
练习册系列答案
相关题目
如图，圆的直径，是延长线上一点，，割线交圆于点,，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点.
（1）求证：;
（2）求的值.
如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于，，为的中点，的延长线交于点．证明：
（1）；
（2）
如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点，那么实数k的值是（　　）
A．k=±1B．k=±
3
C．k=±1或k=±
3
D．k=±
2
抛物线y2=4x上一定点P（x0，2），直线l的一个方向向量
d
=(1，-1)
（1）若直线l过P，求直线l的方程；
（2）若直线l不过P，且直线l与抛物线交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，求kPA+kPB的值．
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四个顶点为A1，A2，B1，B2，两焦点为F1，F2，若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=（　　）
A．
5
+1
2
B．2
5
-2		C．
5
+2
2
D．
5
-1
2
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
（1）若椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
3
，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-
cosθ
sinθ
，mn=-
3
sinθ
(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离dmin=
a2+b2-b
．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的切线，切点为，交圆于、两点，且，，则的长为             .

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