题目内容

已知函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0，则f（2010）=（　　）
A、2010B、2009C、1005D、1004
分析：取x=y=0，求得f（0）=0，取x=0，y=1可求f(1)=
1
2
，再取x=n，y=1，代入整理即可．
解答：解：取x=y=0，得f（0）=0，
   取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]2，即f（1）=2[f（1）]2．
∵f（1）≠0，
∴f(1)=
1
2
．
  取x=n，y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+
1
2
．
  即f(n+1)-f(n)=
1
2
，所以f(n)=
n
2
，
  从而f（2010）=1005，
  故选C．
点评：本题考查函数的求值，解决的方法是特值法，体现合理转化的思想，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．
若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
已知函数f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
1
2
）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在实数b，使得任给a∈[
1
4
，
1
3
]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，则f（f（x））=
1
1

下面三个命题中，所有真命题的序号是
①②③
①②③
．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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