Question

已知f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）求函数f（x）的定义域、值域．
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）对于任意实数x，都有2^x＞0，进而可得函数解析式恒有意义，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1-

2

2x+1

，结合指数函数的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取实数x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
故函数f（x）=

2x-1

2x+1

的定义域为实数集R．
∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
而2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵2＞1，∴2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在实数集R上单调递增．

点评：本题综合考查了函数的定义域、值域及单调性，熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键．