Question

【题目】已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范围是，最小值为，此时直线的方程为.

【解析】

（1）根据已知条件得出，再由离心率可得出的值，并求出的值，由此可得出所求椭圆的方程；

（2）由题意可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点的坐标，进而求得，由此可得出的表达式，利用导数求出的取值范围，以及取最小值时对应的直线方程.

（1）由题有，，，.

因此，椭圆方程为；

（2）当直线与轴重合时，则直线的垂线与直线平行，不合乎题意.

设，将其与曲线的方程联立，得.

即.

设、，则，，

，

将直线与联立，得，

.

.

设，构造.

在上恒成立，所以在上单调递增.

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的取值范围是，

当取得最小值时，, 此时直线的方程为 .