Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S3=

7

2

，S6=

63

16

．
（I）求a_n；
（II）若bn=

1

an

+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，公比q≠1，则S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

①S6=

a1(1-q6)

1-q

=

63

16

②，相除可得公比q，求得首项和公比，即可求出通项公式．
（II）首先根据（1）求出数列{b_n}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．

解答：解：（I）若q=1，则S₆=2S₃，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）
则S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

①S6=

a1(1-q6)

1-q

=

63

16

②（3分）
②式除以①式，得1+q3=

9

8

，所以q=

1

2

，
代入①得a₁=2，
所以an=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2．（7分）

（II）因为bn=

1

an

+n=2n-2+n，（9分）
所以T_n=（2^-1+2⁰+2¹++2^n-2）+（1+2+3++n）=

1 2 (1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

（12分）
=

1

2

(2n-1)+

n(n+1)

2

=

2n+n2+n-1

2

．（14分）

点评：本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b_n}是等差数列和等比数列和的形式，采取分组法求解．属于中档题．