题目内容
如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点，
(Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(Ⅱ)证明：平面ABM⊥平面A1B1M。
(Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(Ⅱ)证明：平面ABM⊥平面A1B1M。
(Ⅰ)解：因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，
因为A1B1⊥平面BCC1B，所以∠A1B1M=90°，
而
，
故
，
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为
。
(Ⅱ)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM
平面BCC1B1，得A1B1⊥BM， ①
由(Ⅰ)知，
，
又
，
所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M，
又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M，
而BM
平面ABM，
因此平面ABM⊥平面A1B1M．
因为A1B1⊥平面BCC1B，所以∠A1B1M=90°，
而
，故
，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为
。(Ⅱ)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM
平面BCC1B1，得A1B1⊥BM， ①由(Ⅰ)知，
，又
，所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M，
又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M，
而BM
平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M．
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