Question

【题目】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im)，若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为.若p<q，求证：<；

（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.

(Ⅱ)见解析；

(Ⅲ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；

(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；

(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.

(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.

(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，

设所有长度为的子列的末项分别为：，

所有长度为的子列的末项分别为：，

则，

注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，

故，

据此可得：.

(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，

下面说明此数列满足题意.

很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.

长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，

下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：

当时命题显然成立，

假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，

则当时，对于时得到的每一个子列，

可构造：和两个满足题意的递增子列，

则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，

综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.

注：当时，所有满足题意的数列为：，

当时，数列对应的两个递增子列为：和.