Question

【题目】已知圆，直线.

（1）求证：对，直线与圆总有两个交点；

（2）设直线与圆交于点，若，直线的倾斜角；

（3）设直线与圆交于点，若定点满足，求此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）先求得直线过定点，利用该点在圆内可得所证的结论.

（2）根据弦长可得弦心距，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，两者结合可求，从而可得直线的倾斜角.

（3）设，的中点为，，则可得，求出后利用圆心到直线的距离公式可求，从而得到所求的直线方程.

（1）由直线可得，故直线过定点.

因为，故在圆内，所以直线与圆总有两个不同的交点.

（2）因为，故到直线的距离，

又圆心到直线的距离为，

所以，解得，故直线的斜率为，

所以其倾斜角为或.

（3）由（1）可得在圆内.

设，则，故.

设的中点为，则且.

设，因为，故，

解得，所以，所以，

故直线或.