题目内容

函数f(x)=
x2
1+x2
，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)=（　　）
A、2006
1
2
B、2007
1
2
C、2008
1
2
D、2009
1
2
分析：由f(x)=
x2
1+x2
导出f（x）+f（
1
x
）=1，由此将互为倒数的两个数作为一组，可以求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值．
解答：解：∵f(x)=
x2
1+x2
，
∴f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
x2
1+
1
x2
=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1，
f（1）=
1
2

∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)=
1
2
+2009=2009
1
2
，
故选D．
点评：此题是个中档题．本题考查函数的性质和应用，解题的关键是推导出f（x）+f（
1
x
）=1，考查学生创造性的分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
x2
1+x2
，那么f(1)+f(2)+f(
1
2
)+f(3)+f(
1
3
)+f(4)+f(
1
4
)=
 
．
（1）①计算
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
（a2+b2≠0且a≠-b）；
②计算
lim
x→-∞
x2-3
3x3+1
．
（2）设函数f(x)=
x2
1+x2
-1
-1(x＞0)
a(x=0)
b
x
(
1+x
-1)(x＜0)

①若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
②若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．
（普通班做）已知函数f(x)=
x2
1+x2
，x∈R．
（1）求f(x)+f(
1
x
)的值；
（2）计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
n
)的值．
设函数f(x)=
x2
1+x2
-1
-1(x＞0)
a(x=0)
b
x
(
1+x
-1)(x＜0)

（1）若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
（2）若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．
已知函数f(x)=
x2
1+x2
．
（Ⅰ）求f(2)+f(
1
2
)，f(3)+f(
1
3
)，f(4)+f(
1
4
)的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算猜想关于f（x）的一个性质，并证明．

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