Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A₁B∥平面ADC₁．
（2）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB₁两两垂直．由此能求出二面角C₁-AD-C的余弦值．

解答：（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．
由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
得四边形ACC₁A₁为矩形，
O为A₁C的中点，又D为BC中点，
所以OD为△A₁BC中位线，
所以 A₁B∥OD，
因为 OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，所以 A₁B∥平面ADC₁．…（6分）
（2）解：由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁两两垂直．
以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点，
∴可设AA₁=1，AB=BC=2，BD=DC=1，
∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1），
∴

AC1

=（-2，2，1），

AD

=(-2，1，0)，
设平面ADC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AC1

=0，

n

•

AD

=0，
∴

-2x+2y+z=0 -2x+y=0

，∴

n

=（1，2，-2），
∵平面ADC的法向量

n1

=(0，0，1)，
所以二面角C₁-AD-C的余弦值为|cos＜

n

，

n1

＞|=|

-2

3×1

|=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．