Question

（2011•黄冈模拟）已知f（x）=tx³-2x²+1．
（I）若f′（x）≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围；
（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，由

g(-1)≥0 g(1)≥0

，能求出x的取值范围．
（II）由f（x）=x³-2x²+1，知f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0）和（

4

3

，+∞）为递增函数；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，

4

3

）为递减函数．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．

解答：解：（I）f′（x）=3tx²-4x，令g（t）=3x²t-4x，
则有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
∴

-3x2-4x≥0 3x2-4x≥0

，
解得-

4

3

≤x≤0．
∴x的取值范围是[-

4

3

，0]．
（II）f（x）=x³-2x²+1，
f′（x）=3x²-4x=x（3x-4），
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞

4

3

．
令f′（x）＜0，得0＜x＜

4

3

，
∴f（x）在（-∞，0）和（

4

3

，+∞）为递增函数；
在（0，

4

3

）为递减函数．
∵f（0）=1，f(

4

3

) =-

5

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，
令f（x）=1，得x=0或x=2．
①当a+3＜0，即a＜-3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．
∴h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
②当0≤a+3≤2，即-3≤a≤-1时，h（a）=f（0）=1．
③当a+3＞2，即0＞a＞-1时，
h（a）=f（a+3）=a³+7a²+15a+10．
∴h(a)=

1，                          (-3≤a≤-1) a3+7a2+15a+10  (a＜-3或a＞-1)

．

点评：本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．