Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的点，点P关于x轴对称的点记为M，设

F1P

=λ

F1Q

．
（1）写出曲线C的方程；
（2）若

F2M

=u

F2Q

，试用λ表示u；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意及抛物线的方程易得；
（2）由题意及所知的两向量等式应先设出点P，Q，M的坐标，利用已知的向量等式建立λ与μ的关系，进而求解；
（3）由于设出点P，Q的坐标利用两点间的距离公式，算出PQ的长度，应转化为用λ表示所求，接下来因为知道λ的范围进而可以求PQ长度的范围．

解答：解：（1）抛物线的方程是y²=4x，
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵

F1P

=λ

F1Q

，
∴

x1+1=λ(x2+1)① y1=λy2②

∴y₁²=λ²y₂²，又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₁=λ²x₂代入①得λ²x₂+1=λx₂+λ
∴λx₂（λ-1）=λ-1，
∵λ≠1
∴

x2= 1 λ ③ x1=λ④

则

F2M

=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-λy₂）=-λ（

1

λ

-1，y₂）
=-λ（x₂-1，y₂）=-λ

F2Q

即

F2M

=-λ

F2Q

，故u=-λ
（3）由③、④知x₁x₂=1，
∴y₁²y₂²=16x₁x₂=16，又y₁y₂＞0，
∴y₁y₂=4
∴|PQ|²
=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）
=λ²+

1

λ2

+4（λ+

1

λ

）-10
=（λ+

1

λ

）²+4（λ+

1

λ

）-12
=（λ+

1

λ

+2）²-16
又2≤λ≤3，
∴

5

2

≤λ+

1

λ

≤

10

3

∴

17

4

≤|PQ|²≤

7×16

9

所以

17

2

≤|PQ|≤

4 7

3

点评：（1）此问重点考查了抛物线的标准方程及抛物线焦点的概念；
（2）此问重点考查了由向量等式转化为坐标等式，还考查了建立方程后整体代换的思想；
（3）此问重点考查了设出坐标后利用两点间的距离公式表示两点间的距离，转化为用λ表示，还考查了不等式的性质．