Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，E、F分别为BC、PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AFC；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：对于（1），要证PB∥平面AFC，只需证明PB与平面AFC内的一条直线平行即可，F为PD的中点，底面ABCD为菱形，故连接BD交AC于O，则O为AC的中点，从而OF为三角形PBD的中位线，易知FO∥PB，从而得证；
对于（2），由于E为BC中点，∴AB=2BE∵∠ABE=60⁰，∴AE=

3

BE∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，从而可以以A为坐标原点，
以AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间作标系，分别求出平面PAE与平面PCD一个法向量，求出这两个法向量的夹角的余弦值的绝对值即可．

解答：
证明：（1）连接BD交AC于O，∵ABCD为菱形，则BO=OD（1分）
连接FO，则FO∥PB（3分）∵FO?平面AFC，PB?平面AFC，∴PB∥平面AFC（4分）
（2）解：∵E为BC中点，∴AB=2BE∵∠ABE=60°，∴AE=

3

BE∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD．（6分）
建立如图所示的空间直角坐标系，{A；

AE

，

AD

，

AP

}，
则E(

3

，0，0)，P(0，0，2)，C(

3

，1，0)，D（90，2，0）（8分）
平面PAE的一个法向量为m=（0，1，0）（9分）
设平面PDC的一个法向量为n=（x，y，z）
则

n• PD =0 n• DC =0

∴

(x，y，z)•(0，2，-2)=0 (x，y，z)•( 3 ，-1，0)=0

∴

y-z=0 3 x-y=0

，令y=

3

∴n=(1，

3

，

3

)（11分）
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m|•|n|

=

3

7

=

21

7

，
∴平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为

21

7

．（12分）

点评：本题考查线面平行的判定和二面角的求法，要注意转化思想的应用，即将线面平行转化为面面平行，将求二面角转化为求其法向量的夹角．