Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

k+2

+

y2

k+1

=1的左右焦点，弦AB过F₁，若△ABF₂的周长为8，则椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

分析：先根据a²=k+2，b²=k+1求得c的表达式．再根据椭圆定义知道|AF₁|+|AF₂|关于k的表达式，再根据三角形ABF₂的周长求得k，进而可求得a，最后根据e=

c

a

求得椭圆的离心率．

解答：解：由题意知a²=k+2，b²=k+1
c²=k+2-（k+1）=1
所以c=1
根据椭圆定义知道：
lAF1l+lAF2l=lBF1l+lBF2l=2

k+2

而三角形ABF₂的周长
=lABl+lAF2l+lBF2l
=lAF1l+lAF2l+lBF1l+lBF2l
=4

k+2

=8
得出k+2=4
得K=2
∴a=

k+2

=2，
e=

c

a

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了椭圆性质．要利用好椭圆的第一和第二定义．