Question

如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．
（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；
（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

Answer 1

（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面BCE． …（3分）
因为CE?平面BCE，所以CE⊥AB．
因为CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE=B，
所以CE⊥平面ABE． …（6分）
因为CE?平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． …（8分）
（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．
因为DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，
所以DE∥OF． …（12分）
又因为矩形ABCD中，O为BD中点，
所以F为BE中点，即=． …（14分）
分析：（1）根据平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE，从而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，从而可得平面AEC⊥平面ABE；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF．根据DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根据O为BD中点，可得F为BE中点，从而可得结论．
点评：本题考查线面、面面垂直的判定与性质，考查线面平行，掌握线面、面面垂直的判定与性质是关键．