Question

(本小题满分12分)
已知点,是平面上一动点,且满足,
(1)求点的轨迹对应的方程;
(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦,且的斜率为满足,试判断动直线是否过定点,并证明你的结论.

Answer 1

(1)即为对应的方程；(2)直线恒过定点.

第一问是平面向量与解析几何得结合，体现了向量运算的工具作用。熟练向量的运算对于解决这类问题很有帮助。第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的思路一般是将直线方程代入曲线方程消去一个未知数，然后利用韦达定理处理。
解：(1)由 可知 …………………………1分
设,则,…………2分
代入得:
化简得:即为对应的方程,        …………………………5分
(2)将代入得∴ …………………………6分
设直线的方程为:
代入消得: …………………………7分
记
则 …………………………8分
∵∴且
∴
∴
∴ …………………………10分
当时代入得: 过定点
当时代入得:过,不合题意,舍去.
综上可知直线恒过定点.…………………………12分