Question

已知甲、乙、丙等6人．
（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？
（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．

Answer 1

分析：（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，相加
即得所求．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

种，求得甲参加第一项活动的方法有

A

5 5

种，乙参加第三项活动的方法有

A

5 5

种，甲
参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有

A

4 4

种，
则 

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

 的结果即为所求．
（3）求得每项活动至少有1人参加的方法有 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

种，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 种，
由此求得每项活动至少有1人参加的概率．

解答：解：（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，
分别为

C

1 6

、

C

2 6

、

C

3 6

、

C

4 6

、

C

5 6

、

C

6 6

，
故共有

C

1 6

+

C

2 6

+

C

3 6

+

C

4 6

+

C

5 6

+

C

6 6

=2⁶-1=63 种方法．
（2）所有的安排方法共有

A

6 6

种，其中甲参加第一项活动的方法有

A

5 5

种，乙参加第三项活动的方法有

A

5 5

种，
甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有

A

4 4

种，
故甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的不同的安排方法有

A

6 6

-2

A

5 5

+

A

4 4

=720-240+24=504 种．
（3）这6人同时参加4项不同的活动，每项活动至少有1人参加，若各项活动的人数为3、1、1、1时，有

C

3 6

•

A

4 4

种方法，
若各项活动的人数为2、2、1、1，则有

1

2

C

2 6

•

C

2 4

•

A

4 4

种方法，
故满足条件的方法数为 （

C

3 6

+

1

2

C

2 6

•

C

2 4

）•

A

4 4

=65×24种．
而所有的安排方法共有 4⁶ 种，故每项活动至少有1人参加的概率为

65×24

46

=

195

512

．

点评：本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排，体现了
分类讨论的数学思想．当直接解的情况比较复杂时，可以考虑用间接解法，是一个中档题目．