Question

（08年龙岩一中模拟理）（12分）

如图，在直三棱柱中，，    

，点是的中点.

（1）求证：；                   

（2）求点到的距离；         

（3）求二面角的大小.

 

Answer 1

解析：（1）证明：

连结，设与的交点为，连结.

 是的中点，是的中点，

           …………2分

     …………3分

（2）解：设点到的距离为

在三棱锥中，      ，  且

.         …………5分

易求得

即点到的距离是    …………8分

（3）解：在平面内作于点， 过点作于点，连结

易证明  ，  从而是在平面内的射影，

根据三垂线定理得

是二面角的平面角.          …………10分

易求得，

在中，

 二面角的大小是      …………12分

解法二：

 在直三棱柱中，，，

两两垂直 .

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系，

则

（1）证明：

设与的交点为，则

…2分

                4分

（2）解：

设点到的距离为

在三棱锥中，      ，  且

.     易求得

即点到的距离是                8分

（3）解：在平面内作于点， 过点作于点，连结

易证明  ，  从而是在平面内的射影，

根据三垂线定理得

是二面角的平面角.             10分

易知

 二面角的大小是            12分