Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|(λ≤1)的最小值等于-

3

2

，求λ值及f（x）取得最小值-

3

2

时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]．利用向量的数量积公式和向量的模的运算法则，能够求出

a

•

b

及|

a

+

b

|．
（2）因为f(x)=

a

•

b

-2λ|(

a

+

b)

|=cos2x-4λcosx(λ≤1)x∈[0，

π

2

]=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1，由于x∈[0，

π

2

]，所以cosx∈[0，1]．再由f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|(λ≤1)的最小值等于-

3

2

，能求出λ值及f（x）取得最小值-

3

2

时x的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
且x∈[0，

π

2

]，
∴

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

x•sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

( a + b) 2

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2cosx．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴f(x)=

a

•

b

-2λ|(

a

+

b)

|=cos2x-4λcosx(λ≤1)
=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-2λ²-1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx∈[0，1]，
当λ＜0时，f(x)min=-1≠-

3

2

；
当0≤λ≤1时，f(x)min=-2λ2-1=-

3

2

，λ=

1

2

．
此时cosx=

1

2

，x=

π

3

．
综上λ=

1

2

，
f（x）取最小值-

3

2

时，x=

π

3

．

点评：本题考查平面向量的综合题，综合性强，难度大，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．是高考的常见题型，易错点是忽视角的取值范围．