题目内容
（2009•闵行区一模）已知函数f（x）的图象与函数y=ax-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=loga（x2-3x+3）（a＞1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga
，loga
]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=af（x）-g（x）（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga
| p |
| m |
| p |
| n |
（3）设函数F（x）=af（x）-g（x）（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．
分析：（1）根据函数f（x）的图象与函数 y=ax的图象关于直线y=x对称可知两函数互为反函数，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性建立等式关系，x2-3x+3=p+3x在（
，+∞）有两个不等的根，从而求出p的范围；
另解：可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求解
（3）先求出函数F（x）的最大值，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）max
（2）根据函数的单调性建立等式关系，x2-3x+3=p+3x在（
| 3 |
| 2 |
另解：可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求解
（3）先求出函数F（x）的最大值，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）max
解答：（本题满分18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=loga（x+1）； （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga
，g(n)=loga(n+1)=loga
；
即m+1=
，n+1=
，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=
即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于
，（10分） 解得-
＜p＜0为所求．（12分）
另解：可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-
＜p＜0．
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=
，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+
-5≥2
-5，当且仅当x=
-1时等号成立，∴
=
∈(0，
]，（16分）∴F(x)max=F(
-1)=
，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）max，所以w≥
为所求．（18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=loga（x+1）； （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga
| p |
| m |
| p |
| n |
即m+1=
| p |
| m |
| p |
| n |
| p |
| x |
即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于
|
| 1 |
| 4 |
另解：可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-
| 1 |
| 4 |
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=
| (x+1) |
| x2-3x+3 |
| 7 |
| x+1 |
| 7 |
| 7 |
| x+1 |
| x2-3x+3 |
| 1 | ||
(x+1)+
|
2
| ||
| 3 |
| 7 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的值域和列举法，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．
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