Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析 ； （2）3 .

【解析】

试题分析： (1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理，经多次转化得证：先由线面垂直PA⊥平面ABCD得线线垂直PA⊥BD.同理PC⊥BD.，再由线线垂直得线面垂直BD⊥平面PAC. (2)求二面角正切值，一般利用空间直角坐标系，根据空间向量数量积进行求解：先建立恰当直角坐标系，设各点坐标，利用方程组得两平面法向量，再根据向量数量积求其夹角余弦值，最后根据同角三角函数关系求正切值.

试题解析：(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD.

同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD.

又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.

(2)解

如图，

分别以射线AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．

由(1)知BD⊥平面PAC，

又AC平面PAC，∴BD⊥AC.

故矩形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．

∴＝(2,0，－1)，＝(0,2,0)，＝(－2,2,0)．

设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

∴取x＝1得n＝(1,0,2)．

∵BD⊥平面PAC，

∴＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量．

cos<n，>＝

设二面角B－PC－A的平面角为α，由图知0<α<，

∴cos α＝，sin α＝

∴tan α＝＝3，即二面角B－PC－A的正切值为3.