Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx-2sin²ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）若α是锐角，且f（

a

2

-

π

6

）=

6

5

，求cosα的值．

Answer 1

（I）函数f（x）=2

3

sinωxcosωx-2sin²ωx+1
=

3

sin2ωx-2×

1-cos2ωx

2

+1
=2sin（2ωx+

π

6

）．
因为函数f（x）的最小正周期为π，即

2π

2ω

=π，∴ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]．
∴f（x）的取值范围为[-1，2]．
（II）由（1）可知f（

a

2

-

π

6

）=2sin（α-

π

6

）=

6

5

，
∴sin（α-

π

6

）=

3

5

，∵α是锐角
∴cos(α-

π

6

)=

4

5

，
∴cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]
=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．