Question

对于任意n∈N^*，比较(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)与

2n+1

的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：利用数学归纳法的定义即可证明．

解答：解：取n=1，(1+1)＞

2•1+1

，取n=2，(1+1)(1+

1

3

)＞

2•2+1

…由此推测(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=2，右边=

3

2＞

3

∴不等式成立．
（2）假设n=k时，不等式成立，有(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

，
那么，n=k+1时，(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)[1+

1

2(k+1)-1

]＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)=

2k+1

•

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

，

∵( 2k+2 2k+1 )2-( 2k+3 )2= 4k2+8k+4-(4k2+8k+3) 2k+1 = 1 2k+1 ＞0 ∴ 2k+2 2k+1 ＞ 2k+3 = 2(k+1)+1

因而(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

)＞

2(k+1)+1

，
即 当n=k+1时，不等式也成立．
由上可知，对于任意n∈N^*，(1+1)(1+

1

3

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

．

点评：熟练掌握数学归纳法的证题的方法步骤和原理是解题的关键．