题目内容

设无穷数列{an}的各项都是正数，Sn是它的前n项之和，对于任意正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则该数列的通项公式为
 
（n∈N*）．
分析：由等差中项和等比中项可得
an+2
2
=
2Sn
，平方可得Sn=
(an+2)2
8
，把n=1代入可得a1=2，还可得Sn-1=
(an-1+2)2
8
，又an=SnS-n-1，数列各项都是正数，可得an-an-1=4，可得数列为等差数列，可得通项公式．
解答：解：由题意知
an+2
2
=
2Sn
，平方可得Sn=
(an+2)2
8
，①
①由a1=S1得
a1+2
2
=
2a1
，从而可解得a1=2．
又由①式得Sn-1=
(an-1+2)2
8
（n≥2）…②
①-②可得an=SnS-n-1=
(an+2)2
8
-
(an-1+2)2
8
（n≥2）
整理得（an+an-1）（an-an-1-4）=0 
∵数列{an}的各项都是正数，
∴an-an-1-4=0，即an-an-1=4．
故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列，
故其通项公式为an=2+4（n-1）=4n-2，
故答案为：an=4n-2
点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，属中档题．
练习册系列答案
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（2013•闸北区一模）以下四个命题中，真命题的个数为（　　）
①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设z1，z2∈C，若
z
2
1
+
z
2
2
=0，则z1=0且z2=0；
④设无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn}是等差数列，则{an}一定是常数列．
设无穷数列{an}的前n项和为Sn，且(3-p)Sn+2pan=3+p(n∈N*)，p为常数，p＜-3．
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3
2
f(bn-1)，(n≥2)，求证：{
1
bn
}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
（3）设cn=
1
an-an+1
，在（2）的条件下，有
lim
n→∞
(bnlgan)=lg27，求数列{cn}的各项和．
以下四个命题中，真命题的个数为（　　）
①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设z1，z2∈C，若
z21
+
z22
=0，则z1=0且z2=0；
④设无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn}是等差数列，则{an}一定是常数列．
A．0B．1C．2D．3
以下四个命题中，真命题的个数为（ ）
①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设z1，z2∈C，若，则z1=0且z2=0；
④设无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn}是等差数列，则{an}一定是常数列．
A．0
B．1
C．2
D．3

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