题目内容
设复数z1，z2满足z1z2+2i z1-2i z2+1=0．（Ⅰ）若z1，z2满足
. |
| z2 |
（Ⅱ）若|z1|=
| 3 |
分析：（1）利用条件
-z1=2i化简z1z2+2i z1-2i z2+1=0．保留z1，再求解．
（2）将z1z2+2i z1-2i z2+1=0．求出化简z1，用|z1|=
，解z2然后求出k即可．
. |
| z2 |
（2）将z1z2+2i z1-2i z2+1=0．求出化简z1，用|z1|=
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由
=z1+2i，两边同时取共轭复数可得：z2=
-2i．
代入已知方程得：z1（
-2i）+2iz1-2i（
-2i）+1=0．
即|z1|2-2i
-3=0．令z1=a+bi，
即可得到a2+b2-2i（a-bi）-3=0．
即（a2+b2-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z1=3i，z2=-5i，或z1=-i，z2=-i．
（Ⅱ）由已知得z1=
．又∵|z1|=
，
∴|
|=
．
∴|2iz2-1|2=3|z2+2i|2．
∴（2iz2-1）（-2i
-1）=3（z2+2i）（
-2i）．
整理得：z2
+4iz2-4i
-11=0．
即（z2-4i）（
+4i）=27．
∴|z2-4i|2=27，
即|z2-4i|=3
．
∴存在常数k=3
，使得等式|z2-4i|=k恒成立．
. |
| z2 |
. |
| z1 |
代入已知方程得：z1（
. |
| z1 |
. |
| z1 |
即|z1|2-2i
. |
| z1 |
即可得到a2+b2-2i（a-bi）-3=0．
即（a2+b2-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z1=3i，z2=-5i，或z1=-i，z2=-i．
（Ⅱ）由已知得z1=
| 2iz2-1 |
| z2+2i |
| 3 |
∴|
| 2iz2-1 |
| z2+2i |
| 3 |
∴|2iz2-1|2=3|z2+2i|2．
∴（2iz2-1）（-2i
. |
| z2 |
. |
| z2 |
整理得：z2
. |
| z2 |
. |
| z2 |
即（z2-4i）（
. |
| z2 |
∴|z2-4i|2=27，
即|z2-4i|=3
| 3 |
∴存在常数k=3
| 3 |
点评：复数方程的化简，以及复数的模的运算，注意存在性问题的处理方法，是中档题．
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