题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（ $数学公式$ ）^n-1+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n= $数学公式$ a_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，试比较T_n与 $数学公式$ 的大小．

解：（1）由题意知a₁=-a₁-1+2，∴ $\text{[math]}$ ．
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，即2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，
设b_n=2ⁿa_n，则b_n-b_n-1=1，
∵b₁=2a₁=1，∴b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②
①-②得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
T_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
于是确定T_n与 $\text{[math]}$ 的大小等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1，证明如下．
（1）当n=3时，2³＞2×3+1，猜想成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即2^k＞2k+1．
当 n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1．
∴当n=1，2时，T_n＜ $\text{[math]}$ ．当n≥3时，T_n≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意知 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．同眦可知2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=2ⁿa_n，则b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，由此可知 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由错位相减法知 $\text{[math]}$ ．由此入手可证出当n=1，2时，T_n＜ $\text{[math]}$ ．当n≥3时，T_n≥ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的知识和不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答．