Question

已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，

求证：（其中是的导函数）．

Answer 1

（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，

切线的斜率，则切线方程为，即.······· 2分

（Ⅱ），则，

∵，故时，.当时，；当时，.

故在处取得极大值.··················· 4分

又，，，则，

∴在上的最小值是.····················· 6分

在上有两个零点的条件是解得，

∴实数的取值范围是.······················ 8分

（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点，

∴方程的两个根为，则两式相减得.又，，则.

下证（*），即证明，，

∵，∴，即证明在上恒成立.···· 10分

∵，又，∴，

∴在上是增函数，则，从而知，

故（*）式＜0，即成立………….12分