Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求函数g（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

）．
由于函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=π，故ω=1，即函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间是[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（

π

4

-x）=

2

sin（2x-

π

4

）-

2

sin[2（

π

4

-x）-

π

4

]=2

2

sin（2x-

π

4

），
由于x∈[

π

8

，

3π

4

]，则0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
故当2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

时函数g（x）取得最大值2

2

，当2x-

π

4

=

5π

4

即x=

3π

4

时函数g（x）取得最小值-2．