Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足.

（I）求证：是等比数列；

（II）求证：不是等比数列.

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（I）由，则时，，两式相减，化简得到

，即可得到数理是公比为的等比数列；

（II）(方法一)由（I）知是等比数列，所以，于是，解得，即可得到数列不是等比数列.

(方法二) 由（I）得，因此，求得于是假设是等比数列，则有，解得，即可得不是等比数列.

详解：（I）因为，所以当时，

两式相减得，

即，

因此，

故是公比为的等比数列.

（II）(方法一)假设是等比数列，则有，

即.

由（I）知是等比数列，所以，

于是，即，解得，

这与是等比数列相矛盾，

故假设错误，即不是等比数列.

(方法二) 由（I）知，所以，因此.

于是，

假设是等比数列，则有，

即，解得，

这与相矛盾，

故假设错误，即不是等比数列.