Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，I为△PF₁F₂的内心，使S △IPF 1+S △IPF 2=2S △IF1F 2，则该椭圆的离心率等于

 

．

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2化简整理，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，则
S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴

1

2

|PF₁|•r+

1

2

|PF₂|•r=|F₁F₂|•r，
可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，
∴2a=4c，
∴a=2c，
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题以椭圆的焦点三角形的一个面积关系式为载体求椭圆的离心率，考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．